相似三角形的应用汇总
冉凤蒲
相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中应用也很多。在生活中经常利用相似三角形的性质来解决生活中不能直接测量物体长度的问题，现总结如下。

方法1：利用阳光下的影子
例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO。
解：太阳光是平行光线，因此
∠BAO＝∠EDF，
又∠AOB＝∠DFE＝90°，
∴△ABO∽△DEF。
，
因此金字塔的高为134m。

方法2：利用标杆
例2 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树的根部的距离BD＝5m。一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
分析：如图27.2-10（1），设观察者眼睛的位置（视点）为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K。视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角。类似地，∠CFK是观察点C时的仰角。由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内。
解：如图27.2-10（2），假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A、C恰在一条直线上。
由题意可知，AB⊥，CD⊥，
∴AB∥CD，△AFH∽△CFK。
∴。
即，
解得FH＝8。
由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它。


方法3：利用镜子的反射
例3 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米.请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角)




解：∵∠BEF=∠FED
∴∠BEA=∠DEC
又∵∠BAE=∠DCE=90°
∴△BAE∽△DCE
∴=
即=
解得AB=13.44
因此教学大楼的高度为13.44m。
方法4：利用路灯下的影子
例4 如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度。



A





解：∵CD⊥BG，ＥＦ⊥BG，
∴CD∥AB,EF∥AB,
∴△CDF∽△ABF，△EFG∽△ABG，
∴=， =，
∵CD=EF
∴=
即=
解得BD=9
∴=
解得AB=6.4
因此路灯杆AB的高度为6.4m。

方法5：利用共线与垂直
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸待定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ。
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴△PQR∽△PST。
，
即，，
PQ×90＝（PQ＋45）×60
解得PQ＝90
因此河宽大约为90m。

以上是相似三角形在实际生活中的应用的几个常见的实例，生活中的应用还有很多，但是都可以在以上这几种例子中找到模型。
例如 我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为1000px，食指的长约为200px,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？




这个问题就是例2的变形，熟练掌握以上几种方法后，相似三角形的应用基本没问题了。